เกร็ดความรู้ทางคณิตศาสตร์

เกร็ดความรู้ทางคณิตศาสตร์

ทำไม…การหารจึงใช้เครื่องหมาย ÷
สัญลักษณ์ ÷ ได้ถูกนำมาใช้โดย จอห์น วอลลิส ( John Wallis 1616 – 1703 )ในประเทศอังกฤษและสหรัฐ
อเมริกา แต่ไม่แพร่หลายในทวีปยุโรป เพราะใช้เครื่องหมายโครอน( : )กันจนชินแล้ว

ในปี 1923 คณะกรรมการแห่งชาติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกากล่าวว่าเครื่องหมายหาร (÷)และเครื่องหมายโครอน( : ) ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในชีวิตธุรกิจ แต่ใช้ในวิชาพีชคณิตเท่านั้น จึงได้มีการนำเครื่องหมายเศษส่วน( / )มาใช้แทนเครื่องหมายหาร (÷)

อ้างอิงจากรายงาน National Committee on Mathematical Requirement ของ Mathematical Association of America,Inc( 1923,P 81 )

เครื่องหมาย ´ มีกี่แบบ

คำว่า Multiply มาจากคำว่า Multiplicare เป็นภาษาละติน ซึ่งหมายถึง การมีค่าเพิ่มมากขึ้นเป็นทวีคูณ นักคณิตศษสตร์ Oughtred เป็นคนคิดเครื่องหมายคูณเป็นรูป ´ ในปี1631 ต่อมา Harriot แนะนำให้ใช้เครื่องหมายจุด . ในปีเดียวกัน

ในปี ค.ศ. 1698 Leibniz เขียนถึง Bernoulli ว่า “ ฉันใช้ ´ เป็นสัญลักษณ์ในการคูณ มันสับสนกับตัวX บ่อยครั้ง ฉันจึงใช้สัญลักษณ์ง่ายๆ คือ . (จุด) ”

ปัจจุบันนี้การคูณใช้เครื่องหมาย 3 แบบได้แก่ 3´a หรือ 3.a หรือ (3)a หรือการวางชิดกันคือ 3a

ทำไม…การบวกจึงใช้เครื่องหมาย +

ว่าบวกมาจากภาษาละตินว่า adhere ซึ่งหมายความว่า “ ใส่เข้าไป ” Widman เป็นคนแรกที่คิดใช้เครื่องหมาย
“ + ” และ “ - ” ในปี 1489 เขากล่าวว่า “ - คือ minus และ + คือ more เชื่อกันว่าสัญลักษณ์ “ + ” มาจาก
ภาษาละติน et แปลว่า “ และ ”

รู้ไหม…สัญลักษณ์ p ที่ใช้ในการหาพื้นที่วงกลมมีความเป็นมาอย่างไร
ในอดีตไม่มีหลักฐานที่แน่ชัดว่า p เป็นจำนวนอตรรกยะ ในคัมภีร์ไบเบิล(I Kings 7: 23) ตัว p ถูกกำหนด
ให้มีค่าเป็น 3 ในปี 1892 นิตยสาร นิวยอร์กไทม์ แสดงค่า p เท่ากับ 3.2 อีกทั้งในปี 1897 ใน House Bill หมายเลข 246 ในรัฐอินเดียนน่า ให้ p มีค่าเท่ากับ 4 ในหนังสือพิมพ์ในปี 1934 ให้ p มีค่า ( สัญลักษณ์ pพบครั้งแรกในปี 1934แต่ยังไม่แพร่หลาย จนกระทั่ง Euler เริ่มนำมาใช้ในปี 1737), ในปี 1873 William Shanks คำนวณค่า p ได้ทศนิยม 700 ตำแหน่ง โดยเขาใช้เวลานานถึง 15 ปี อย่างไรก็ตามได้มีการนำเทคนิคทางคอมพิวเตอร์มาใช้แทนซึ่งคำนวณได้แม่นยำกว่า 100 ตำแหน่ง คุณอาจสงสัยว่า p คืออะไร


ปัจจุบันพิสูจน์ได้ว่า p เป็นจำนวนอตรรกยะ และเราใช้ หรือ 3.14 เป็นค่าประมาณของ p
ศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับ p ได้จาก http://school.net.th/l:brary/snet2/know/dge-math/piel.htm.

การค้นหาค่า p

อักษร p อ่านว่า พาย เป็นสัญลักษณ์ที่ Willia Jones ได้เริ่มใช้เป็นคนแรกเพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความ
ยาว เส้นรอบวงของวงกลมใดๆกับความยาวเส้นผ่าศุนย์กลางของวงกลมนั้น ซึ่งวงกลมทุกวงจะมีอัตราส่วนดังกล่าวเท่า
กันหมดคือ ประมาณ3.1415926

ประวัติศาสตร์ได้จารึกไว้ว่า เมื่อประมาณ 4,000 นี้ นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลน รู้จักคำนวณค่า p ได้ประมาณ
3.125 และนักคณิตศาสตร์ได้พบว่า วงกลมใดก็ตามที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาว 9 หน่วย จะมีพื้นที่เท่ากับ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่
ด้านยาว 8 หน่วย นั้นคือ p 256/81 = 3.1604

Archimedes นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งเคยมีชีวิตอยู่เมื่อ 2,250 ปีก่อน ได้แสดงวิธีหาค่า p ใน
หนังสือMeasurement of a Circle โดยคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุในวงกลม และได้ค่า p ว่าอยู่
ระหว่าง 3.1408 กับ 3.1428 ในเวลาต่อมาอีกราว 400 ปี Ptolemy นักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงพบว่า p มีค่า
3 /120 = 3.141666 และในราวคริสต์ศตวรรษที่ 5

Tsu – Chung-Chih ชาวจีนคำนวณค่า p ได้ 3.1415926 ซึ่งนับว่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 7
วงการคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณถือกันว่าใครคำนวณค่า p ซึ่งได้ทศนิยมละเอียดยิ่งมีความสามารถมาก
L.Ceuben ชาวเนเธอร์แลนด์ คำนวณค่าได้จุดทศนิยมถึง 32 ตำแหน่ง และค่าที่เขาหามาได้อย่างลำบากนี้ ได้ถูกนำมา
เรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาสิ้นชีวิต

ในปี พ.ศ. 2320 Le Conte de Buffon พบว่าเขาสามารถหาค่า p ได้จากการทดลองโยนเข็มเล่มหนึ่งอย่างไม่
ตั้งใจลงบนพื้นซึ่งเส้นขนาน 2 เส้น หากเข็มที่เขาใช้มีความยาว l และระยะห่างระหว่างเส้นขนานเท่ากับ d โดยที่ l < d
เขาพบว่า โอกาสที่เข็มจะพาดตัวตัดเส้นขนานเส้นหนึ่ง มีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้นเวลาเขาโยนเข็ม N ครั้งแล้วนับจำนวนครั้ง
ที่เข็มพาดทับเส้นขนาน สมมติว่าได้เท่ากับ n ก็แสดงว่า นั่นคือ p = 2lN/dn
- Machin ( 2249 ) ใช้สูตร ได้ p ถูกต้องตำแหน่งที่ 100

- Newton ใช้สูตร :- ได้ p ถูกถึงตำแหน่งที่ 15

- Ramanujam ( 2458 )
ใช้สูตร :- ได้ค่า p ถูกต้องถึงตำแหน่ง17,526,200 ตำแหน่ง

- Z G.chudnosky ( 2537 )
ใช้สูตร:- หาค่า p ได้ทศนิยม 4,055,000,000 ตำแหน่ง

ใช้สูตร :- หาค่า p ได้ทศนิยม 4,055,000,000 ตำแหน่ง


- สถิติโลกในการหาค่า p ปัจจุบันของ Y. Kamada แห่งมหาวิทยาลัย Tokyo ซึ่งคำนวณค่า p ถึง ทศนิยม
ตำแหน่งที่ 6,442,450,938

- เหตุใดคนเราต้องคำนวณค่า p ให้ได้ละเอียดถึงปานนั้น…คำตอบก็คือ…

- เมื่อเราคำนวณค่า ละเอียดค่า p ที่ได้จะเป็นตัวทดสอบ สามารถเป็นตัวทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของ
Computer ได้ Computer เครื่องใดทำงานผิดพลาด จะให้ค่า p ผิดทันที และ Computer ใดคำนวณค่าได้ทศนิยม
ถูกต้องถึง 1,000 ล้านตำแหน่ง แสดงว่า Computer เครื่องนั้นทำงานอย่างน้อย 1,000 ล้านจังหวะได้อย่างไม่ผิดพลาด

รู้ไหม…“ 0 ” กำเนิดเมื่อไร

ชาวอียิปต์ยังไม่มีสัญลักษณ์แทน 0 ชาวบาบิโลเนียนใช้ระบบตำแหน่งแต่ก็ยังไม่มี 0 ใช้ จึงทำให้ตัวเลขที่เขาใช้ยังไม่สมบูรณ์ จนกระทั่งในปีที่ 150 ของคริสตกาล ชาวมายัน ได้นำ 0 มาใช้เป็นกลุ่มแรก โดยใช้แสดงตำแหน่งและใช้แทนจำนวน 0 ซึ่งไม่ทราบว่านำมาใช้เมื่อใดจนกระทั่งมีบันทึกไว้ก่อนคริสตศตวรรษที่ 16 โดยนักเดินทางชาวสเปนที่เดินทางไปคาบสมุทรยูคาธาน พวกเขาพบว่า ชาวมายันได้มีการใช้ 0 อย่างแพร่หลายมาเป็นเวลานาน ก่อนที่โคลัมบัส จะค้นพบอเมริกาเสียอีก

รู้ไหม…ใครค้นพบลอการิทึม
จอห์น เนเปียร์ (John Napier:1550-1617) ได้รับยกย่องว่าเป็นคนค้นพบลอการิทึม ท่านเป็นคนแรกที่พิมพ์ผลงาน Descriptio ซึ่งเกี่ยวกับลอการิทึม ในปี 1614

ในปี ค.ศ. 1588 แนวคิดที่คล้ายกันนี้ก็ได้รับการพัฒนาโดย จ้อบ บูกี้ (Jobst Burgi) Glaisher กล่าวว่า การประดิษฐ์ลอการิทึม และตารางคำนวณ มีคุณค่าอย่างยิ่งต่อวิทยาศาสตร์ไม่มีงานคณิตศาสตร์ใด ที่มีผลสืบเนื่องอย่างมีคุณค่าเท่ากับงาน Descriptio ของ เนเปียร์ ยกเว้น Principia ของนิวตัน

แหล่งที่จะศึกษาทางประวัติเกี่ยวกับลอการิทึม มีอยู่ใน Encyclopedia Britanica พิมพ์ครั้งที่ 11 ฉบับที่ 16 หน้า 868 – 877 เขียนโดย J.W.L. Glaisher และมีอยู่ใน “ History of the Exponential and Logarithmic Concepts. ในหนังสือวารสาร American Mathematical Monthly. Vol.20(1913) ซึ่งเขียนโดย Florian Cajori

มีใครทราบไหมเอ่ย…ประวัติลอการิทึม มีความเป็นมาอย่างไร
เมื่อก่อน Logarithms เป็นตัวช่วย ในการคำนวณ แต่ในปัจจุบันนี้ มีความ สำคัญมากขึ้นในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ชาวบาบิโลเนียนเป็นพวกแรกที่ใช้ Logarithms ในการแก้ปัญหา และไม่ใช้ในการคิดคำนวณ

พื้นฐานของ Logarithms สมัยใหม่นั้น ได้รับการพัฒนาขึ้นโดย Tycho Brahe (1546-1601) เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีของ Copernican ซึ่งเกี่ยวกับทฤษฎีแห่งการเคลื่อนที่ วิธีการที่เขาใช้เรียกว่า prostaphaeresis

ในปี 1590 Brahe และ John Craig ได้เล่าให้Napier ฟังเกี่ยวกับวิธีการของ Brahe ซึ่ง Napier (1550 – 1617) เป็นคนแรกที่คิดคำว่า Logarithms ขึ้นมา Napier เปรียบเสมือนกับ Isaac Asimov ในช่วงเวลานั้น เขาได้ จินตนาการถึง รถถัง ปืนกลและเรือดำน้ำ เขาได้ทำนายไว้ด้วยว่า โลกเราถึงการสิ้นสุดในระหว่างปี 1688 และ ปี 1700 ทุกวันนี้ Napier ได้รับการยกย่องว่าเป็นคนที่ประดิษฐ์ Logarithms ที่ใช้อย่างกว้างขวางในการคำนวณที่ซับซ้อน ตั้งแต่ก่อนการกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลข ปัจจุบันเน้นการใช้ Logarithms กว้างขวาง และกว้างไกลมากกว่าการคำนวณแค่จำนวน ธรรมดา ๆ

อยากรู้ไหม…ว่าคุณเป็น คนอัจฉริยะ( Genius )หรือไม่

แบบทดสอบนี้ออกโดย MENSA ซึ่งเป็นสมาคมไอคิวสูง ของสหรัฐอเมริกา คุณมีเวลาทดสอบ IQ จากข้อสอบนี้ 20 นาทีเท่านั้น ถ้าเกินเวลาควรหยุด ณจะได้ข้อละ 1 คะแนน สำหรับข้อถูก แต่ถ้าคุณทำเสร็จภายใน 15 นาที
คุณจะได้เพิ่มอีก 4 คะแนน

รู้ไหม…การถ่ายภาพในอวกาศ คณิตศาสตร์ช่วยได้อย่างไร

เมื่อภาพถูกส่งมาจากอวกาศ จะถูกส่งเป็นสัญลักษณ์ของระบบเลขฐานสอง ซึ่งรูป ภาพเหล่านั้น ไม่ได้ส่งมาอยู่
ในรูปของแผ่นฟิล์ม แต่จะส่งออกมาเป็นจุดกลมเล็กมาก เรียก pixel

ตัวอย่างภาพจะถูกแบ่งออกเป็น 1000 pixel ในแนวนอน และ 500 pixel ในแนวตั้ง
แต่ละ pixel ถูกแทนด้วยตัวเลขที่มีความสว่าง ตั้งแต่ 0 – 63 สำหรับสีขาวบริสุทธิ์จนถึงสีดำบริสุทธิ์
ตัวเลขเหล่านี้จะถูกส่งกลับเป็นตัวเลขฐานสองมี 6 หลัก ตั้งแต่ 000000 ถึง 111111
คอมพิวเตอร์จะแปลเลขฐานสอง 6 หลักนี้ ลงในภาพถ่าย
ภาพนี้เป็นดาว Triton ซึ่งเป็นบริวารของดาวเนปจูน
รูปภาพเหล่านี้จะถูกส่งไปโดยยาน Voyager 2 ในเดือนสิงหาคม ปี 1989

โดยนักศึกษาเอกคณิตศาสตร์สถาบันราชัฏพระนคร
ที่ปรึกษากิจกรรม:ผ.ศ.ดร.สมวงษ์ แปลงประสพโชค

คณิตศาสตร์ไขปริศนาฟองเบียร์แฟบ

คณิตศาสตร์ไขปริศนาฟองเบียร์แฟบ

นักคณิตศาสตร์ค้นพบสูตรคำนวณเวลาฟองเบียร์ละลายหลังจากรินปริ่มแก้ว คลายปริศนาได้ว่าเพราะเหตุใดฟองเบียร์ถึงหายไปเร็วกว่าฟองเบียร์ดำยี่ห้อกินเนส

งานวิจัยดังกล่าวอาจดูเหมือนเรื่องไร้สาระ แต่ความจริงแล้วเป็นเคล็ดลับการบ่มเบียร์ให้เลิศรส และยังสามารถเอามาประยุกต์ใช้กับการผสมโลหะได้ เพราะโลหะและเซรามิกมีโครงสร้างแบบรังผึ้งที่ประกอบด้วยโครงข่ายฟองที่เต็มไปด้วยก๊าซที่แยกตัวออกจากของเหลวเหมือนฟองเบียร์

ผนังของฟองเหล่านี้เกิดการเคลื่อนตัวอันเนื่องจากแรงตึงผิว ความเร็วที่ผนังฟองเคลื่อนเป็นสัดส่วนกับความโค้งของฟองเบียร์ ผลจากการเคลื่อนที่นั้นทำให้ฟองรวมกัน และมีโครงสร้างหยาบลง ทำให้ฟองยุบตัวลงจนหายไปในที่สุด

งานวิจัยชิ้นนี้เป็นการศึกษาต่อยอดมาจากสมการที่ นักคณิตศาสตร์จอห์น ฟอน นอยมานน์ คิดค้นไว้เมื่อปี 2495 เพื่ออธิบายรูปแบบโครงสร้างแบบรังผึ้งในรูปแบบสองมิติ ซึ่งไม่มีใครรู้ว่าสมการของเขาใช้งานได้กับมิติอื่นขึ้นหรือไม่

ล่าสุด โรเบิร์ต แมคเฟียร์สัน จากสถาบันศึกษาชั้นสูงในปรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์ และเดวิด สโรโลวิตซ์ จากมหาวิทยาลัยเยชิวา ในนิวยอร์กพบว่าสมการที่สร้างไว้เมื่อ 55 ปีที่แล้วใช้ได้กับรูปแบบสามมิติ สี่มิติ ห้ามิติ และหกมิติ

ศ.สโรโลวิตซ์ อธิบายว่า สิ่งที่เกิดขึ้นกับเบียร์คือ ฟองจิ๋วหดตัวลง ฟองใหญ่โตขึ้น สุดท้ายฟองใหญ่ก็แตก เนื่องจากโลกมีแรงดึงดูดและของเหลวที่อยู่ในผนังฟองมีแนวโน้มจะไหลกลับไปรวมกับเบียร์ ผนังฟองเริ่มเล็กลงและแตกหายไป อย่างไรก็ดี ศ.สโรโลวิตซ์ เดาว่าน่าจะเป็นเพราะเบียร์ดำกินเนสอาจมีสารลดความตึงผิวเจืออยู่เลยทำให้ฟองเบียร์คงสภาพได้นานกว่า

ถึงกระนั้น สมการที่ถูกคิดค้นไว้เกินครึ่งศตวรรษสามารถประยุกต์ใช้กับวัสดุอื่นได้ด้วย โดยเฉพาะโลหะและเซรามิกที่มีลักษณะโครงสร้างที่เรียกว่า โพลีคริสตัลไลน์ หมายความว่ามันประกอบด้วยผลึกขนาดเล็กมากมายที่มีผนังกั้นระหว่างผลึก ดังกรณีของโลหะที่เอาไปหลอมในเตาหลอม ขนาดโดยเฉลี่ยของเม็ดโลหะจะใหญ่ขึ้น ผลึกขนาดเล็กจะหายไป เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงที่เกิดกับผนังกั้นระหว่างผลึกแต่ละเม็ด ซึ่งสามารถใช้สูตรคณิตศาสตร์ตัวเดียวกับที่คำนวณการเปลี่ยนรูปของฟองเบียร์มาใช้และอาจช่วยนักวิทยาศาสตร์ปรับปรุงคุณภาพของวัสดุให้ดีขึ้น


ที่มา:: หนังสือพิมพ์
คม :ชัด :ลึก

สัจพจน์ในวิชาคณิต

สัจพจน์ในวิชาเรขาคณิต



เรขาคณิต เป็นส่วนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ว่าด้วยการเกี่ยวข้องกับจุดที่เรียงกันอย่างมีระเบียบตามกฎเกณฑ์
ที่กำหนดให้เป็นรูปหรือรูปทรงต่าง ๆ


สัจพจน์ คือข้อความเบื้องต้นทางเรขาคณิตที่ยอมรับกันว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ประกอบ
ด้วย

1. รูปเรขาคณิตทั้งหลายย่อมเคลื่อนที่ได้
2. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดที่กำหนดให้ 2 จุดได้
3. ปลายทั้งสองของเส้นตรงอาจถูกต่อออกไปได้ไม่จำกัดความยาว
4. เส้นตรงทั้งหลายที่ลากต่อระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ส่วนของเส้นตรงย่อมสั้นที่สุด
5. เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและส่วนของเส้นตรงเป็นรัศมี สามารถสร้างวงกลมได้เพียงวงเดียวเท่านั้น
6. เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น
7. ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดกึ่งกลางได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น
8. มุม ๆ หนึ่ง ย่อมมีเส้นตรงแบ่ง ครึ่งมุมได้เพียงเส้นเดียว
9. มุมฉากทุกมุม มุมตรงข้ามทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
10. เมื่อกำหนดจุดบนเส้นตรงให้ จะลากเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่จุดนั้นได้เพียงเส้นเดียว
11. เส้นที่ลากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงเส้นหนึ่ง เส้นตั้งฉากย่อมสั้นที่สุด
12. มุมรอบจุด ๆ หนึ่งรวมกันจะเท่ากับสองเท่าของมุมตรง หรือสี่เท่าของมุมฉาก
13. รัศมีของวงกลมเดียวกัน หรือวงกลมที่เท่ากันจะมีขนาดเท่ากัน
14. เส้นตรงเส้นหนึ่งจะตัดวงกลมได้ 2 จุด เส้นตรงนี้เรียกว่าเส้นพาดวง (secant)
15. เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อผลบวกของขนาดของมุมภายใน
บนข้างเดียวกันของเส้นตัดเป็น 180 องศา

คณิตศาสตร์(Mathematics) คือ ????????

คณิตศาสตร์ (Mathematics) คือ ????????

คณิตศาสตร์ (Mathematics) คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับ....

รูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน." เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์.

คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ. คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก (mathema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคำว่า (mathematiks) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้". ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths.

ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยาศาสตร์ (ดู คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์)

โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย.

เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม. ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์.

คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน.

นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology); แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา.

องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากวิชาอื่นๆ

เทคนิคการคิดเลขเร็ว

เทคนิคการคิดเลขเร็ว

หลักการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในระดับประถมศึกษา จะเริ่มจากรูปธรรม คือสิ่งที่เป็นรูปร่าง จับต้องได้แล้วพัฒนาไปสู่สิ่งที่นามธรรม ที่ต้องใช้ความนึกคิดหรือจินตนาการในการคิด หรือสรุปหาคำตอบจากปัญหาทางคณิตศาสตร์

เทคนิคการคิดเลขเร็ว เป็นหลักการคิดวิธีลัด ซึ่งเป็นขั้นสุดท้ายของวิธีการสรุปหาคำตอบ ทำให้คิดหาคำตอบได้รวดเร็วกว่าวิธีอื่น ก่อนใช้วิธีลัด ควรมีความเขจ้าใจวิธีคิดตามปกติก่อน

ความเร็วในการคิดมีประโยชน์อย่างไร ลองนึกง่ายๆ ในเวลาที่เท่ากันคนที่คิดเร็วกว่า จะมีปริมาณในการคิดหาคำตอบได้มากกว่าทำให้ได้คะแนนสูงกว่า คิดสร้างสรรค์ในสิ่งต่างๆ ได้มากกว่า ถึงอย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ เป็นวิขาทักษะ การฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอเป็นสิ่งสำคัญและจำเป็น นอกจากทำให้เกิดทักษะการคิดแล้วยังสามารถนำไปประยุกต์ในชีวิตประจำวันได้ด้วย

ลำดับขั้นการฝึกสำหรับนักเรียน

1. การฝึกพื้นฐาน ควรฝึกให้เกิดทักษะเบื้อต้นก่อน ไม่ควรมองข้ามว่าง่ายเกินไปที่ว่าง่ายเพราะคิด แบบไม่จำกัดเวลา ถ้าให้เวลาน้อยลงจะทำให้ยากขึ้น แบบฝึกคิดเลขเร็วนี้ ต้องให้เวลาตัวเอง ถ้าเห็นว่าง่านก็ให้เวลาน้อยลง ถ้าเห็นว่ายาก ให้เวลาการทำมากขึ้นตามความสามารถของแต่ละคน

2. การฝึกควรมีสมาธิ หาที่สงบเงียบแล้วจับเวลาหรือแข่งขันกับเพื่อน ตั้งใจทำให้เต็มความสามารถ และควรฝึกทุกวัน

3. ตรวจหาคำตอบด้วยตัวเอง ช่วยให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ถูกหรือผิดไม่สำคัญ สำคัญว่าตั้งใจคิดหรือเปล่า ถ้ามีข้อผิด คิดผิดอย่างไร ทบทวนข้อผิดพลาดของตนเอง

4. บันทึกการฝึกฝน ควรบันทึกการฝึกฝนทุกครั้งเพื่อทราบพัฒนากการของตนเอง จะทำให้ทราบความก้าวหน้าและแข่งขันกับตัวเอง

เกมคณิตศาสตร์

เกมคณิตศาสตร์



หลายคนคงจะเคยได้ยินคำกล่าวที่ว่า อะไรที่ไม่ค่อยได้ใช้งานมักจะชำรุดหรือทรุดโทรม ตัวอย่างที่พบเห็นกันง่าย ๆ เช่น หอพัก บ้านพัก หรือโรงแรม ซึ่งที่พักใดที่ไม่มีผู้ใช้ ปล่อยทิ้งไว้เฉย ๆ ก็จะดูทรุดโทรม รกรุงรัง ไม่ได้รับการปรับปรุงหรือซ่อมแซม และเมื่อต้องการใช้ ก็ใช้ไม่ได้ดังใจ ต้องเสียเวลามาทำการซ่อมแซม ปัดกวาด เช็ดถูกันเป็นเวลานานจึงใช้การได้ สมองของคนเราก็เช่นกัน ถ้าไม่ได้ใช้หรือฝึกคิดแก้ปัญหาอยู่เสมอ ๆ เวลาจะใช้ก็อาจนึกไม่ออก และคิดไม่ได้ตามที่ต้องการ

ในการเรียนการสอน สิ่งหนึ่งที่เป็นหน้าที่ของครูที่จะต้องทำก็คือ การพัฒนาสติปัญญาและสมองของนักเรียน ฝึกหัดให้นักเรียนได้มีโอกาสใช้ความคิด ฝึกการแก้ปัญหา ซึ่งในการฝึกดังกล่าว จะต้องมีหุ่นให้ฝึก ให้ทดลองแก้ปัญหา เช่นเดียวกับการฝึกในเรื่องอื่น ๆ เป็นต้นว่า ถ้าต้องการฝึกหัดตัดผม ดัดผม หรือแต่งผม ก็ต้องหาหุ่นศีรษะคนหรือผลปลอมของคนมาให้ ถ้าต้องการจะฝึกหัดขับรถ ก็ต้องหารถยนต์ให้ได้ทดลองขับ
ในเรื่องของการฝึกสมองหรือฝึกความคิด เพื่อให้เป็นผู้ที่คิดเป็น มีขั้นตอน หรือมีระบบในการคิด มีความสามารถในการตัดสินว่าสิ่งใดควรนำมาพิจารณา ตลอดจนไฝ่หาแนวทางในการแก้ปัญหา ปัญหาทางคณิตศาสตร์ถือได้ว่าเป็นหุ่นชนิดหนึ่งที่เหมาะสมสำหรับการฝึกหัดคิด ฝึกหัดแก้ปัญหา เพราะมีปัญหาทางคณิตศาสตร์บางปัญหาที่เหมาะสมสำหรับการฝึกคิดสำหรับคนทั่ว ๆ ไป เนื่องจากไม่ต้องอาศัยความรู้พิเศษหรือ ความรู้เฉพาะวิชาในระดับสูงที่เกี่ยวกับปัญหานั้น ๆ มาใช้ในการแก้ปัญหาแต่อย่างใด


ตัวอย่างของปัญหาดังกล่าว ได้แก่

1. การคูณจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปของตัวแปร
2. การบวกจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปของตัวแปร
3. การหารจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปของตัวแปร

รูปแบบที่ได้มาตรงกับคำตอบที่ท่านคิดได้หรือเปล่า ปัญหาทั้งสามตัวอย่างที่กล่าวมานี้ อาจจะยากเกินไปสำหรับบางท่านที่ไม่เคยพบกับปัญหาประเภทนี้มาก่อน ซึ่งทำให้ไม่รู้ว่าจะวางแผนหรือหาขั้นตอนอย่างไรดีในการคิด
ดังนั้น จะเห็นได้ว่าในการที่จะใช้ปัญหาให้เป็นหุ่นสำหรับให้ฝึกใช้ความคิด ก็ควรจะต้องเลือกหุ่นให้เหมาะสมว่าจะให้เป็นหุ่นสำหรับบุคคลในระดับไหน ถ้าเป็นระดับเด็กเล็ก ๆ ก็จะต้องเลือกหุ่นที่ไม่สลับซับซ้อนนัก เพราะถ้าเลือกหุ่นที่ไม่เหมาะสำหรับฝึก เนื่องจากหุ่นนั้นอาจจะยากเกินความสามารถไป แทนที่จะเกิดประโยชน์ กลับจะกลายเป็นโทษให้เกิดอาการสมองตื้อ ส่งผลให้เกิดความเบื่อหน่าย ตลอดจนรังเกียจที่จะติดอะไรต่อไป เพราะกลัวที่จะต้องปวดหัวอีก เหมือนกับนักมวยแรกหัด ถ้าเริ่มต้นการฝึกมวยก็ให้ขึ้นชกกับนักมวยระดับแชมเปี้ยนเลยทีเดียว ก็มีแต่จะถูกน็อคลงมาท่าเดียว ไม่มีโอกาสที่จะได้ฝึกต่อไป แล้วทำให้เกิดความกลัว ความเบื่อหน่ายในการฝึก ยกเว้นคนที่มีพรสวรรค์ติดตัวมาเท่านั้นที่จะทำให้มุมานะทำต่อไปได้จนสำเร็จ ซึ่งคนประเภทนี้ไม่ว่าจะฝึกด้วยวิธีใด ก็จะสำเร็จทั้งนั้น แต่คนทั่ว ๆ ไปมักจะทำไม่ได้ ดังนั้น การเลือกหุ่นที่เหมาะสม จึงมีส่วนสำคัญในการพัฒนาขั้นตอนในการใช้ความคิดให้เป็นระบบ และมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น

ปัญหาที่อาจใช้เป็นหุ่นสำหรับอุ่นเครื่องผู้ที่จะเริ่มฝึกใหม่ ๆ เพื่อให้คุ้นเคยกับการคิดและการมองหารูปแบบได้

ปัญหาทั้งหมดที่ยกมาข้างต้นนี้เป็นปัญหาที่มีเพียงคำตอบเดียว แต่ปัญหาในลักษณะนี้ มีบางปัญหาที่มีคำตอบได้หลายคำตอบ ซึ่งบางปัญหาก็ง่าย แต่ส่วนใหญ่แล้ว ปัญหาที่มีหลายคำตอบจะคิดยากกว่าปัญหาที่มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว แต่ก็นับว่าเป็นปัญหาที่ท้าทายพอสมควร สำหรับท่านที่เป็นครู ท่านอาจจะใช้ปัญหาที่กล่าวมานี้แทรกในระหว่างการเรียนการสอนในวิชาต่างๆ ได้ ไม่จำกัดเฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งนอกจากจะช่วยให้นักเรียนได้ฝึกสมองแล้ว ยังช่วยเปลี่ยนบรรยากาศในการเรียนการสอนด้วย สำหรับผู้ที่ไม่ได้เกี่ยวข้องในวงการศึกษา นอกจากจะใชัปัญหาเหล่านี้เป็นเครื่องฝึกสมองแล้ว บางครั้งเมื่อท่านอยู่เงียบเหงาคนเดียวไม่มีงานทำ ก็อาจจะใช้เป็นเพื่อนแก้เหงาได้ อย่างน้อยก็ยังดีกว่า "อยู่เปล่า ๆ" จริงไหม




--------------------------------------------------------------------------------
* ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์
ที่มา: วารสาร สสวท. ปีที่ 12 ฉ.1 ตค. - ธค. 2526

จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ
การหาจำนวนเฉพาะไม่ใช่เรื่องยาก หากจำนวนดังกล่าวยังอยู่ในวงจำนวนไม่เกินสองหลัก เช่น จำนวนเฉพาะห้าจำนวนต่อไปถัดจาก 2 คือ 3, 5, 7, 11 และ 13 ตามลำดับ จำนวนเฉพาะจำนวน ต่อไปถัดจาก 13 คือ 17 จำนวนเฉพาะจำนวนต่อไปถัดจาก 41คือ 43 เป็นต้น อย่างไรก็ดี เมื่อพิจารณาเส้นจำนวนจะเห็นได้ว่า การกระจายของจำนวนเฉพาะบนเส้นจำนวนนั้นไม่มีรูปแบบที่แน่นอน บางทีเราพบจำนวนเฉพาะที่เกาะกลุ่มกัน เช่น 2, 3, 5, 7 แต่บางครั้งเราก็พบจำนวนเฉพาะที่ทิ้งช่วงห่างกัน เช่น 61, 71 นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีการที่จะได้มาซึ่งข้อสรุปเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดไปบนเส้นจำนวนประมาณปลายเดือนมีนาคม 2546 นี้เอง Dan Goldston จาก San Jose State University and Cem Yalcin Yildrim จาก Bogazici University ประเทศตุรกี ได้นำเสนอบทพิสูจน์อันจะนำไปสู่คำตอบเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ และนำไปสู่การพิสูจน์ “Twin Prime Conjecture” ที่กล่าวไว้ว่า Twin Primes หรือ จำนวนเฉพาะคู่ที่มีผลต่างกันอยู่สองนั้นมีจำนวนมากมายไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั้งสองท่านได้นำเสนอผลงานดังกล่าว ณ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (American Institute of Mathematics) การค้นพบดังกล่าวเป็นที่กล่าวขวัญกันอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์หนึ่งเดือนถัดมา Andrew Granville จาก Universite de Montreal และ K. Soundararajan จาก the University of Michigan ได้พบจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ของ Goldston และ Yildrim ว่าพจน์ที่กำหนดให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อน มีขนาดเดียวกับพจน์หลัก จึงทำให้บทพิสูจน์ดังกล่าวยังไม่ครบถ้วนสมบูรณ์อย่างไรก็ดี สิ่งที่ Goldston และ Yildrim ได้ค้นพบนั้นทำให้การพิสูจน์ Twin Primes Conjecture เข้าใกล้ความจริงมากขึ้น นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างหวังว่าในที่สุด Goldston และYildrim เอง หรือนักคณิตศาสตร์ท่านอื่น ๆ จะสามารถแก้ไขจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ดังกล่าว และสามารถพิชิต Twin Primes Conjecture ซึ่งมีอายุกว่าร้อยปีและยังไม่มีใครพิสูจน์ได้เสียที



ผู้เขียน :โกสุม กรีทอง